Muonium Interferometry for Mass and Gravity Measurements

From spectroscopy to interferometry

Muonium (Mu) is a hydrogen-like atom consisting of a positive muon and an electron. Because it contains only leptons and no composite nucleus, its energy levels can be calculated with very high precision in bound-state quantum electrodynamics. Precision spectroscopy of muonium therefore provides stringent tests of the Standard Model and precise values of fundamental constants.

The muon mass is one of the important constants extracted from muonium spectroscopy. At the same time, the uncertainty of the muon mass limits how far several spectroscopic tests can be pushed. This motivates an independent determination of the mass using a method that does not rely on the same spectroscopic theory used to interpret the transition frequencies. [1], [2]

分光から干渉計へ

ミュオニウム（Mu）は正ミュオンと電子からなる水素様原子です。レプトンだけで構成され、 複合粒子である原子核を含まないため、そのエネルギー準位は束縛系量子電磁力学によって きわめて高い精度で計算できます。この特徴を利用した精密分光は、標準模型の厳密な検証や 基礎物理定数の決定に用いられてきました。

ミュオン質量も、これまで主としてミュオニウム分光から決められてきた物理定数の一つです。 一方で、その質量の不確かさ自体が、いくつかの分光実験の到達精度を制限しています。 そこで、遷移周波数を解釈する分光理論とは独立した方法でミュオン質量を測ることに意味があります。

Atoms as waves

Like light, atoms have wave-like properties and can form an interferometer. In an atom interferometer, an atomic wave packet is split into different paths, allowed to accumulate a phase difference, and then recombined. The resulting interference converts a very small change in phase into a measurable change in the atomic population or position.

Atom interferometers are particularly sensitive because atoms travel much more slowly than light and can accumulate phase over a comparatively long interaction time. They have been used for precision measurements of atomic masses and gravitational acceleration, as well as for tests of quantum phenomena. [6]

原子を「波」として使う

光と同じように、原子にも波としての性質があります。原子干渉計では原子の波束を複数の経路に 分け、それぞれに異なる位相を蓄積させたあとで再び重ね合わせます。わずかな位相差を、 最終状態の原子数や位置の変化として読み出せることが干渉計の特徴です。

原子は光よりはるかに遅いため、比較的長い時間をかけて位相を蓄積できます。この高い感度を利用して、 原子質量や重力加速度の精密測定、さらには量子力学的な位相効果の検証などが行われています。

Photon recoil as a mass ruler

When an atom absorbs a photon, it receives the photon momentum. The corresponding recoil changes both the atomic motion and the phase of its matter wave. If the laser wavelength and pulse timing are known precisely, the recoil phase provides a direct handle on the atomic mass. [1], [7]

Here, $k$ is the laser wave number, $m$ the atomic mass, and $T$ a characteristic interval between light pulses. The important point is that the recoil becomes larger for a lighter atom, making muonium an attractive system for a precision recoil measurement.

光反跳を質量の「ものさし」にする

原子が光子を吸収すると、光子の運動量が原子へ渡されます。この光反跳は原子の運動を変えるだけでなく、 物質波の位相にも変化を与えます。レーザーの波長とパルス間隔を高精度で決めれば、 この反跳による位相変化から原子質量を直接求めることができます。

$k$ はレーザー光の波数、$m$ は原子質量、$T$ は光パルス間の代表的な時間間隔です。 軽い原子ほど反跳効果が大きくなるため、非常に軽いミュオニウムは光反跳測定に適した系です。

Ramsey–Bordé interferometry with light pulses

Our present design uses a Ramsey–Bordé interferometer. A beam of metastable 2S muonium is irradiated by four laser pulses near the 2S–15P transition. A properly adjusted $\pi/2$ pulse acts as an atomic beam splitter: part of the wave packet remains in 2S, while the other part is transferred to 15P and receives the photon recoil momentum.

The first two pulses split the trajectories, while the direction of the latter two pulses is reversed so that selected paths meet again. Interference is then observed through the final-state population. Scanning the phase of the last pulse produces an interference fringe whose phase contains the recoil information.

光パルスを用いたRamsey–Bordé干渉計

現在検討している方式はRamsey–Bordé型の原子干渉計です。準安定な2S状態のミュオニウムに、 2S–15P遷移に対応する波長約372 nmのレーザーパルスを4回照射します。 適切に調整した$\pi/2$パルスは原子に対するビームスプリッターとして働き、 波束の一部を2Sに残し、もう一部を15Pへ遷移させると同時に光子の反跳運動量を与えます。

前半の2パルスで経路を分け、後半の2パルスでは光の進行方向を反転させることで、 異なる経路を通った波束を再び重ね合わせます。最後のパルスの位相を走査すると干渉縞が現れ、 その位相に光反跳、すなわち原子質量の情報が含まれます。

Why measure the muon mass this way?

The key advantage is independence. Muonium spectroscopy determines the muon mass through theoretical expressions for atomic transition frequencies. The interferometer instead reads the mass from the photon recoil phase. Comparing these conceptually different determinations provides a new consistency test and can remove the muon-mass uncertainty as a limitation in future spectroscopy.

The phase can also be amplified by adding extra $\pi$ pulses. Studies for light atoms indicate that a sequence of such pulses can greatly improve mass sensitivity. For muonium, the useful interaction time is ultimately restricted by the 2.2 μs muon lifetime, so the pulse sequence, beam velocity, laser power, and detection efficiency must be optimized together.

なぜ干渉計でミュオン質量を測るのか

最大の利点は、分光とは異なる原理で質量を決められることです。ミュオニウム分光では、 原子遷移周波数の理論式を介してミュオン質量を求めます。一方、干渉計では光反跳による位相差から 質量を読み出します。原理の異なる二つの測定を比較すること自体が重要な整合性検証となり、 将来の精密分光におけるミュオン質量由来の不確かさを低減できます。

追加の$\pi$パルスを加えることで位相差を増幅することもできます。ただしミュオニウムでは、 利用できる時間がミュオンの2.2 μsの寿命によって制限されます。そのためパルス列、原子速度、 レーザーパワー、検出効率を一体として最適化する必要があります。

Simulation of the interferometer

A Monte Carlo simulator has been developed to follow individual muonium atoms through the light-pulse sequence. It tracks their trajectories, internal states, photon-recoil momentum kicks, and phase evolution. The calculation reproduces the splitting and recombination of wave packets and produces the expected interference fringe under idealized conditions. [1]

This framework is also useful for designing the experiment. Beam divergence, velocity spread, laser timing and alignment, and finite detector efficiency can be introduced step by step to evaluate how they affect contrast and systematic uncertainty.

干渉計シミュレーション

光パルス列の中を進む個々のミュオニウムを追跡するMonte Carloシミュレーターも開発しています。 原子の軌道、内部状態、光反跳による運動量変化、波動関数の位相発展を逐次計算し、 波束の分岐と再結合、そして理想条件下での干渉縞を再現できます。

この計算は装置設計にも使います。ビームの発散や速度分布、レーザーパルスのタイミングとアライメント、 検出効率などを順次取り入れ、干渉縞のコントラストや系統誤差への影響を評価していきます。

The main experimental challenge

The interferometer requires a low-energy, bright muonium beam. A slow beam increases the interaction time with the laser pulses, while high brightness is needed to retain useful statistics after state preparation, interferometry, muon decay, and detection.

Conventional surface muons have kinetic energies of about 4 MeV and cannot simply be slowed with a thick degrader without generating a large energy and angular spread. Techniques such as laser cooling and magneto-optical trapping, which are powerful for stable atoms, are also difficult to apply within the short muon lifetime. [2], [4], [9], [10]

最大の課題はビームの「質」

干渉計に必要なのは、低エネルギーかつ高輝度のミュオニウム原子ビームです。原子を遅くすれば レーザーパルスと相互作用できる時間を長くできます。一方、状態生成、干渉、飛行中崩壊、 検出を経ても十分な統計量を残すには高いビーム輝度が必要です。

通常の表面ミュオンは約4 MeVの運動エネルギーを持ち、厚い減速材で単純に減速すると エネルギー幅と角度広がりが大きくなります。また、安定原子で広く使われるレーザー冷却や 磁気光学トラップを、短寿命のミュオンにそのまま適用することは困難です。

Multi-stage muon cooling

We are therefore developing a multi-stage cooling scheme that combines two established approaches. A cryogenic solid rare-gas moderator first converts a small fraction of the surface-muon beam into epithermal muons with energies of a few to several tens of eV. Electrostatic optics can then extract and focus this much smaller phase-space distribution.

In the next stage, charge exchange and laser ionization of muonium are used to reach thermal energies. A compact muonium cloud gives much better spatial overlap with the ionization laser than direct irradiation of a large emitter by the original MeV beam. After further extraction and charge exchange, the goal is a bright, slow muonium beam suitable for preparation of the metastable 2S state and injection into the interferometer.

多段階ミュオン冷却

そこで、二つの実績ある低速化手法を組み合わせた多段階冷却を開発しています。第一段では 極低温の固体希ガス減速材を用い、表面ミュオンの一部を数eVから数十eV程度の熱外ミュオンへ変換します。 この段階で位相空間を大きく小さくし、静電光学系によって取り出し・収束することができます。

次の段では、電荷交換とミュオニウムのレーザーイオン化を組み合わせて熱エネルギー領域まで低速化します。 MeVミュオンを大きな標的へ直接止める場合よりも、コンパクトなミュオニウム雲を作ることで イオン化レーザーとの空間的重なりを改善できます。さらに取り出しと電荷交換を行い、 準安定2S状態を生成して干渉計へ入射できる高輝度・低速ミュオニウムビームを目指します。

Solid rare-gas moderator

The first cooling stage is being studied with a prototype solid rare-gas moderator. The basic system consists of a cryostat reaching below 10 K, a metallic substrate on which a thin rare-gas layer is deposited, and a gas-injection system. Solid neon is one of the principal moderator candidates. [2], [9]

The incident muon energy and film thickness must be tuned so that many muons stop close enough to the rare-gas surface to escape as epithermal particles. Surface structuring and non-flat substrate geometries are also being considered to increase the useful emission area.

固体希ガス減速材

多段階冷却の第一段として、固体希ガスを用いたミュオン減速材のプロトタイプを開発しています。 基本構成は10 K以下まで冷却できるクライオスタット、希ガス薄膜を形成する金属基板、 そして希ガス導入系です。主な候補の一つとして固体ネオンを用います。

入射ミュオンのエネルギーと希ガス膜厚を調整し、できるだけ多くのミュオンを表面近傍で減速して 熱外ミュオンとして真空へ放出させる必要があります。実効的な放出面積を増やすための表面微細加工や、 平面以外の基板形状についても検討しています。

Extraction, transport, and diagnostics

The emitted muons are extracted electrostatically and transported to an energy-analysis section. An accelerating-type extraction lens is attractive because a short focal length reduces decay loss. The prototype concept also includes an electrostatic bend or mirror and an MCP-based beam monitor for evaluating the energy and spatial distribution of the moderated muons.

取り出し・輸送・ビーム診断

放出されたミュオンは静電場で取り出し、エネルギー分析部へ輸送します。加速型の静電レンズを用いると 焦点距離を短くでき、飛行中崩壊による損失を抑えられる利点があります。プロトタイプでは、 静電ベンドまたはミラーとMCPビームモニターを組み合わせ、減速後のエネルギー分布と空間分布を 評価する構成を検討しています。

Simulation of the moderation process

A dedicated simulation is being developed in parallel with the hardware. In the present model, 4 MeV surface muons are transported through a silver substrate and a thin solid-neon layer while energy loss, straggling, and multiple scattering are calculated. The simplified model gives a moderation efficiency on the order of $10^{-4}$, comparable to the scale observed in established rare-gas moderator experiments.

The eV-scale region remains the most difficult part of the calculation. A more realistic description requires improved low-energy stopping and scattering models and, eventually, microscopic input for the interaction of slow muons with the solid. These studies are important both for interpreting the prototype measurements and for optimizing the next moderator geometry.

減速過程のシミュレーション

ハードウェア開発と並行して、減速過程を再現する専用シミュレーションも進めています。 現在のモデルでは4 MeVの表面ミュオンを銀基板と固体ネオン薄膜へ入射し、エネルギー損失、 straggling、多重散乱を含めて軌道を追跡します。簡略化したモデルでも、減速効率は $10^{-4}$程度となり、既存の固体希ガス減速材で得られている規模と整合しています。

一方、数eVから数十eVの低エネルギー領域は計算上もっとも難しい部分です。より現実的な予測には、 低エネルギーでの阻止能や散乱過程の精密化、最終的には固体中の低速ミュオン相互作用に関する microscopicな入力が必要です。これらの研究はプロトタイプ測定の解釈と次世代減速材の最適化の 両方に重要です。