前回記事を書いてからまた1年が経ってしまいました . . . 。今年もこれからものすごく忙しいですが、新学期が始まる前の今、このチャンスに、今度こそポルチンスキーに書いてないことを書こうと思います！

ポルチンスキーに書いてない重要なことーそれはたくさんありすぎてどれからお話しすればいいか悩むところですが、まず最初に書くべきこととして、前回1年前にちょっと触れた、アノマリーインフローとそれによる超重力の修正、とその超弦コンパクト化への重大な帰結について書いてしまいたいと思います。今思えば、こんなこともわかっていなかったんだなあ、という感じがします。そういうことがこれ以外にももっとものすごくたくさんあるのです。

注　実は、M5 へのアノマリーインフローを引き起こす重力チャーンサイモンズ項（厳密な定義のチャーンサイモンズ項ではないですが、そう呼ばれることが多いです）の存在が指摘されたのがが　Duff, Liu and Minasian (1995) 、それによってフラックス保存（「タドポール」）条件が変わり、3次元ミンコフスキーx8次元多様体のワープコンパクト化が実現できることが示されたのが　Becker and Becker (1996) で、ポルチンスキーの教科書の初版が 1998年ですから、「ポルチンスキーの教科書が書かれた後になってわかった」というのは正確ではありません。しかし、これが書いてないのは事実ですし、またこのことが、2000年代になって始まった、KKLT をはじめとする超弦理論の宇宙論的応用に大きな影響を与えました。なので、そういうことを含めて「ポルチンスキーの教科書が書かれた後になってわかった」ことの一つとして書きたいと思います。ここまで注でした

さて本題ですが、M理論、それは結局11次元超重力とほとんど同じことですがいろいろな拡張をしている、あるいはこれからする、ということをにじませるときにこう言いますが、この理論には M5-ブレインというブレインがあります。「あります」と見てきたように言っていますが、これは例えば 11次元超重力にそういうブラックブレイン解があることからそう言います。
R. Gueven(ue は u ウムラウト), Phys. Lett.B276 (1992)49-55 です。

このブレインは、他の D-ブレインと同じように超対称性を半分だけ破ります。そして、そのブレインの揺らぎ（微小変形のゼロモード）を調べてみると、そのブレインは6＝5＋1次元ですが、その上に6次元(0, 2)超対称性が残ることがわかります。したがってM5-ブレインの上の(0, 2)超対称場の理論を考えることになりますが、それは「(0, 2)」ということを見てもわかるようにカイラル、つまり右と左が「ちんば」になっているのです。

こういう理論にはアノマリーがあります。この場合は、６次元の重力アノマリー(gravitational anomaly)です。６次元のブレインの上の一般座標変換、あるいは局所ローレンツ変換不変性に関するアノマリーです。一般座標変換、あるいは局所ローレンツ変換しても理論は当然不変になっていて欲しいところ、量子論的には変換すると同じになっていない！ということなので、もしこれがこのままどうにもならないとしたら、超弦で宇宙だとかそれどころの話ではないですが、それは「アノマリーインフロー」という「現象」によって矛盾なくいっている、ということがずっと前から（といってもポルチンスキーには書いてないですが）わかっています。この機構をもっと数式でちゃんとお話ししましょう。

アノマリーというのは、量子論的な有効作用、つまり古典的な作用にループ効果による補正も加えて考えた作用（この場合はループ効果だけでいい）が、変換したら変化が０でなく、別の値に変換してしまう、ということです。この場合は局所ローレンツ変換です。（重力アノマリーを考えるときは、一般座標変換による不変性の破れを考えるより、それにカウンタータームを付け加えて局所ローレンツ変換の破れとして扱う方が便利なのでそうしています。）どういう次元にどういうカイラルな理論があってどういう場があるときのアノマリー、つまり変換した時の有効作用の変化がどうなるかはずっと前に Witten によって調べられていて、その結果は「アノマリー多項式(anomaly polynomial)」によって簡明に記述されることがわかっています。アノマリー多項式や降下方程式自体については、ポルチンスキーの教科書にもヘテロティック弦でのグリーン・シュワルツ機構の説明のところで出てきます。次回はそれについて書くことにしましょう。