最近の研究から

「一般相対性理論」（内山龍雄著）の近日点移動の計算について

もちろん別にこれが「最近の研究」というわけではないのですが、気づいたことがあったので書き留めておきたいと思います。

「一般相対性理論」（内山龍雄著）という本があります。これはかなり古い本ですが、一般相対論自体が古いので使えなくなると言うことはなく、語りかけられるように書かれた味わい深い名著です。ところで最近、力学の万有引力の授業で（通常は授業範囲外なのですが）一般相対論的な補正を紹介できないかと思い、水星の近日点移動を扱った教科書をいろいろ調べていて、この本の38章「Schwarzshild時空における惑星運動」を読みました。ところが、その近日点移動の早さの評価で、「間違っている」とまでは言えないまでも、不整合と言うかわかりにくいと言うか、やはりおかしいところがありましたので、ここで解説したいと思います。（復刊したようですし、もしかしたら疑問に思った読者の方が、ググってこれを読むかもしれないと思ったからです。）

測地線方程式から \tau を消去して、 u=\frac 1r の\varphi 微分を u で表した式が（38.7）です。本にもそのすぐ下に書いてありますように、右辺が一般相対論的な補正に対応していて、これを０においたものが Newton 力学でおなじみの式です。ただし、惑星の質量を m としたとき、左辺最後の項は普通 -\frac{2E}{mh^2} と分母に m が入ります。これが「質量が１の」の意味です。また、第３項は Schwarzschild 半径 a で書かれていますが、Newton 力学では普通　 -\frac{2GM}{h^2} \cdot u　と書かれるものです。したがって、これにも a が入っていますが小さいわけではなく、惑星の運動を司る万有引力そのものの寄与です。

（38.7）の右辺が０のとき、よく知られているように

u = \frac{1+e \cos \varphi}l

が解になります。これは円錐曲線の式で、 0\leq e <1 のとき楕円(円)を表します。右辺の　a u^3 の効果を評価するために、そこでは　(38.8) のように

u = \frac{1+e \cos (\eta\varphi)}l

とアンザッツをおいて、(38.7) に代入して　cos の各べきを比較する、ということをしています。そして、\eta を１からわずかにずれた量として、そのずれを　O(\frac al)　まで求めようとしています。

これは全くもっともらしい考え方だし、実際これで正しい　\eta　の値を出すのですが、よく見てみるとおかしなところがあります。

(38.9),(38.10),(38.11) が cos ０次の項、１次の項、２次の項にそれぞれ対応します。上でも述べたように、３つの式すべての右辺の a を０とおいて、左辺で \eta を１とおいたものはすべて成立します。したがって、３つの右辺を　O(\frac al)　の微少量として、\eta を　O(\frac al)　まで求めてみます。

まず先に３番目の(38.11)を考えると、これから(38.13)

\eta=1-\frac{3a}{2l}

が得られます。これは水星に関して１００年で約43”を与える正しい結果です。

ところが、１番目の式(38.9)からは \frac{ac^2}{h^2}=\frac{2GM}{h^2}=\frac 2l に注意すると

e^2(\eta^2-1)=\frac al　

という式が出てしまいます。これは(38.13)と整合しません。さらに、(38.10)の左辺には　\eta が入っておらず、Newton力学の値を使うと恒等的に０です。それはそうで、何度も言っていますように右辺を０としたものは \eta=1 で成り立つのですが、もとから　\eta　がないので、(38.10)の左辺は消えてしまうのです。
　
本文では、(38.12) の上のように「(38.10)の右辺を無視すれば」とか、(38.14) の上のように「右辺の第３項を無視し、さらに　\eta=1 とおくと」とか、O((\frac al)^0) の最低次を考えて　Newton 力学と同じであることを言っています。しかし、繰り返しますが、それは当然そうなのです。

したがって、(38.9),(38.10),(38.11)のうち、(38.11)だけは　O((\frac al)^1) まで考えているのに、 残りの(38.9),(38.10)は最低次しか考えていない、ということです。これは正しいイタレーションではありません。それなのに、正しい結果が出ているのはなぜなのでしょうか？　　

実は、その理由は(38.8)のアンザッツ

u = \frac{1+e \cos (\eta\varphi)}l

が不十分なせいなのです。その代わりに

u = \frac{1+e \cos (\eta\varphi)}l~+\frac al u^{(1)}

というアンザッツを考えることにより上に述べた矛盾は解消します。こうすると、この　u^{(1)} のおかげで　cos ０次の項、と２次の　O((\frac al)^1)項　に新しい寄与を付け加えることができ、(38.9)と(38.11)も矛盾なく　　O((\frac al)^1)　まで成立させることができます。

しかし、それではなぜ　(38.9),(38.10),(38.11)のうち(38.10)だけ（u^{(1)}　を入れないで）　O((\frac al)^1)　で成り立たせる必要があったのでしょうか？

その理由は、u^{(1)}　が

{u^{(1)}}

という微分方程式をみたすことを要請され、その特解として定数や　\cos^2\varphi に比例する寄与をもつことができるが、\cos\varphi に比例する項はもつことができないからなのです。したがって、アンザッツに　u^{(1)}　を付け加えても　\cos\varphi　の係数である(38.10)を変えることはできないので、(38.10)がはじめからなりたっていなければならなかったのでした。

ちなみに、このようなアンザッツによる詳細な計算を　EMAN さん　がなさっているのをネットで見つけました。そこでは、測地線方程式から直接出る、Newton力学の軌道の式に相当する方程式でなく、それを \varphi で微分して　2u でわった微分方程式で考えておられます。この方がわかりやすいかもしれません（がいずれにしても　　u^{(1)}　は必要です）。　□