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『量子重力と超プランクスケール物理』（森北出版, 2026）
詳しくは、著書の項目を参照。
量子重力理論の目的はプランクスケールを超えた世界のダイナミクスを明らかにすることです。そこでは重力の量子的ゆらぎが大きく、距離の概念が失われたいわゆる「背景自由（背景独立）な世界」が実現していると考えられます。最近の研究から、そのようなスケールの無い世界が共形変換の下でのゲージ同値性、すなわちBRST共形不変性として表現できることが分かってきました。それは特定の背景時空上を運動する重力子の量子化ではなく、時空そのものの量子化を意味しています。ここで紹介する繰り込み可能な重力の量子論はプランクスケールを超えた高エネルギー世界をBRST共形不変性をもつ特別な共形場理論で記述し、さらにそこからの破れの程度を表す無次元の重力結合定数を持った理論です。以下、この理論のことを漸近的背景自由な量子重力理論（Asymptotically Background-Free Quantum Gravity）と呼ぶことにします。
詳しくは、著書及び解説書の項目を参照。
現在の宇宙は共形不変性が破れた世界です。この理論はその破れを表す新しい力学的スケールの存在も予言しています。その値をプランクスケールより2桁低い10^17GeVとすると、宇宙が共形不変な量子時空からインフレーションの時代を経て、力学的スケールで量子相関が短距離になり、時空が相転移を起こして、古典的なフリードマン時空に移行する進化のシナリオを構成することができます。この理論の強みは、インフラトン場のような余分な自由度を導入することなく、重力場のダイナミクスだけでそれができることです。COBEやWMAP人工衛星が観測したCMBスペクトルの大角度成分には、時空が量子的だった当時のスペクトルの情報がそのまま保存されていると考えられます。左図の赤線は理論値で、○で囲まれた大角度成分の落ち込みは量子重力理論の力学的スケールの存在を示唆しています。また、インフレーション期間の膨張指数（e-foldings）とスカラー振幅の大きさはプランクスケールと力学的スケールの比を用いて説明することができます。[量子重力的宇宙論の研究論文]
背景自由性は時間や空間の概念が喪失していることを表しています。一方、量子重力の力学的スケールが示す相関距離は、それよりも長距離では量子相関が切れて、その性質が無くなることを表しています。このことは、この相関距離が物理的に測定可能な最小の距離であることを示しています。このように時空は、離散化することなしに連続体のまま、この長さ単位で実質的に量子化されていることになります。また、量子重力の素励起(以下で説明)はこの力学的スケールを単位として現れると考えられます。
理論の詳細を記述する前に、アインシュタインの重力理論の限界について、それを越えるために時空の相転移の考えが必要であることを簡単に説明しておきます。良く知られた問題点として特異点が存在することや、繰り込み不可能であることが挙げられますが、ここではもう少し異なる表現をしてみます。いま、質量ｍの素粒子が空間に存在しているとします。その量子的な大きさの目安であるコンプトン波長は1/mで与えられます。一方、この粒子のシュバルツシルト半径は、m_pをプランク質量とすると、m/m_p^2で与えられます。このことは、もしm > m_pならば粒子がホライズンの内側に隠れてしまって、その粒子の情報が消えてしまうことを意味します。これは強い重力場で起こるユニタリ性問題で、プランクスケールを超えた高エネルギー世界では粒子はブラックホールになり、通常の記述がもはや成り立たなくなることを示唆しています。そのため、通常はプランクスケールに紫外カットオフを導入してこの問題を避けています。一般的に、背景時空に依存した方法で重力の量子論を考える際は、この紫外カットオフが必要になります。それは、宇宙定数問題の元凶でもあります。
1850年に「高階微分力学系はゴーストモードを含むハミルトニアンが下に有界でない不安定な非物理的系になる」ことを示したオストログラドスキーの古定理は、ニュートン力学をはじめとする既知の力学系がすべて2階微分以下で書かれているという事実を下支えするものです。アインシュタインの重力理論が2階微分で定義されているのも、この定理の存在と無縁ではありません。にもかかわらず、ここで注意してほしいことは、重力系は全ハミルトニアンが厳密にゼロに拘束されることから、この古定理はそもそも適用外であるということです。むしろ、重力系ではこの拘束条件に従うゴーストは時空を構成する上で必要不可欠な存在です。実際、現宇宙を記述するフリードマン解や天体はゴーストモードの存在なしには構成できません。一般に、ハミルトニアン/運動量拘束条件と呼ばれるこの条件は、繰り込み可能な量子重力では
のようにシュウィンガー-ダイソン方程式として恒等式で表すことができます。ただし、重力系をローレンツ不変な特殊相対論の系に落として考える従来の弱場（重力子）近似による手法を採用すると、全ハミルトニアンがゼロになるという条件は実質的に棚上げにされるので、この古定理が有効になってしまいます。重力子の散乱を考えるこの手法は、重力子の存在が引き起こす背景時空の歪みが無視できるほど小さい、つまり背景時空へのバックリアクションが無視できる、プランクスケールよりも十分に低いエネルギー領域でのみ使える近似方法です。超プランクスケール物理を記述するには、バックリアクションを完全に取り入れた全ハミルトニアンがゼロになるような重力の量子化が必要になります。それは、時空そのものを量子化することであり、物理法則が特定の背景時空に依存しないことを指す「背景自由性」を満たすように重力場を量子化することです。以下に提示する量子重力理論はこの条件を満たすものです。[K. Hamada, arXiv:2608.17364]
アインシュタインの重力理論は繰り込み不可能な理論であることは良く知られています。それは、スカラー曲率で定義されるアインシュタイン-ヒルベルト作用が量子論的に不安定な下に有界でない作用であることと関係しています。ただ、理論の基礎となるもっとも大切な一般座標不変性が繰り込み理論と矛盾しているわけではありません。ここで紹介する繰り込み可能な重力の量子論は、ベス-ズミノ整合性条件を満たす共形不変で正定値な4階微分作用を用いて、以下のように定義されます[くり込みに関する研究論文]：
ここで、第1項は共形不変なワイル作用です。その前の"t"が漸近自由性を示す無次元の繰り込み可能な結合定数で、重力場のトレースレステンソルモードのダイナミクスを制御します。第2項はオイラー項で、その前の係数 ｂ は ｔ で展開されます。一方、時空全体のスケールを表す共形モードのダイナミクスを記述するために通常導入される共形不変でないスカラー曲率の2乗の項は、ベス-ズミノ整合性条件を満たさないために除外されています。この点が、従来の量子重力理論とは大きく異なるところです。この理論では、共形モードのダイナミクスは積分測度から誘導されるベス-ズミノ作用 S によって記述され、分配関数は以下のように表されます：
このとき、共形モードに対して新たな結合定数が導入されていないことに注意してください。ベス-ズミノ作用は結合定数 ｔ のゼロ次でも現れて、それは特にリーガート作用と呼ばれ、
で与えられます。ここで重要な点は、共形モードを厳密に、非摂動的に扱っていて、実際それが可能であるということです。その結果、理論の高エネルギー極限は非摂動的な場の量子論の代表格である共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）を用いて表されます。共形不変性の存在によって特異点は排除され、ブラックホールにおける情報喪失パラドクスのようなユニタリ性の問題を議論することが可能になります。一方、結合定数は共形不変性からのズレの度合いを測るものさしの役目を果たしています。漸近自由性を示すその結合定数が低エネルギーで大きくなると古典的な時空に相転移します。このような高エネルギー極限で背景自由性が現れる性質のことを通常の漸近自由性と区別して漸近的背景自由性（Asymptotic Background Freedom）と呼ぶことにします。[共形場理論と物理状態に関する研究論文]
昨今、量子重力理論と称するモデルが数多く報告されていますが、量子補正を具体的に計算することができるモデルは多くはありません。ここで紹介した量子重力理論はまさに計算できる理論です。計算可能な理論の一つであるストリング理論との違いは、まず定義されるている時空の次元が異なります。高エネルギー極限で共形不変性を持つかどうかも大きな違いです。また、ストリング理論は明白に有限な理論のため、有効作用は新たなスケールを含まない局所的なものになります。そのためストリング長さ以外の力学的スケールはコンパクト化を通して導入されます。これに対して、繰り込み可能な量子重力理論は繰り込み操作によって有効作用が非局所的になり、量子色力学（QCD）と同様に、上記の作用に含まれるスケール以外に新しい力学的スケールが現れます。この力学的スケールでまさに時空相転移が起こるのです。その重要性は上で述べた通りです。
プランク質量より大きな質量をもつ点状の粒子は、アインシュタインの重力理論ではブラックホールになってしまいます。何故なら、そのような粒子の情報は自身のホライズンの内側に隠れて失われてしまうからです。これに対して、漸近的背景自由な量子重力では、プランク質量を超える質量を持った局所的な励起状態が存在します。その直径はおよそ相関距離で与えられ、プランク長さより2桁大きいサイズになります。右図はプランク質量の4倍の質量を持った励起状態の解で、プランク長さを1と規格化して、実線と点線は重力場の揺らぎ（2つの重力ポテンシャル変数）を表しています。外側 (r>30) はシュバルツシルト解で表され、内側は重力の量子効果が発動して、特異点のない時空が大きく揺らいだ構造になっています。ホライズンも量子効果で消えて、外部から見れば粒子に他ならないこの純粋に重力的な励起状態のことを暗黒粒子と呼びます。このように量子重力の効果を取り入れると、アインシュタインの重力理論に現れる諸問題を解決することができます。[K. Hamada, Phys. Rev. D102 (2020) 026024, arXiv:2005.06743]
量子重力インフレーション宇宙論では、宇宙はインフレーション時代におよそ10^30倍、フリードマン時空に移行してからさらに10^29倍、合わせておよそ10^59倍ほど膨張したと考えられます。それは、現在の銀河団よりも大きな数百メガパーセクのサイズがインフレーション以前ではプランク長さ内に納まっていたことを意味します。左図は上記の量子重力理論の有効作用から重力場の揺らぎ(重力ポテンシャル)の発展方程式を導いて、インフレーション時空解のまわりで解いた結果です。プランク時間以前から時空の相転移（ビッグバン）が起こる時間までを数値計算していて、横軸は物理時間です。初めは大きかったゆらぎの振幅がインフレーション期間中に小さくなって、相転移時（図右端）では十万分の一の観測値に近づくことが示されています。このように、量子重力インフレーションでは原始ゆらぎの小ささが、微調整ではなく、動力学的に説明することが出来ます。この揺らぎの情報が相転移の過程で乱されないのは、インフレーション期にその波長が大きく引き伸ばされて、量子重力の相関距離よりも十分に大きなスケールまで成長しているからです。それ故、インフレーション以前の宇宙創成期のスケール不変なスペクトルの情報がそのまま時空相転移後の熱的な宇宙に転写され、それがCMBのゆらぎスペクトルに中に受け継がれて今日それを観測することが出来るのです。[K. Hamada, Universe 10 (2024) 33, arXiv:2306.01384].
宇宙定数は一般座標不変性から決して否定されない。むしろ存在する方が自然である。実際、前世紀の終わりにリースとシュミットやパールマッターらによって主導された実験によってそれは発見された。宇宙定数の問題とは、その存在が問題なのではなく、それに対するゼロ点エネルギーからの量子補正を計算すると観測値よりも120桁も大きな値になってしまうことである。その際、通常、プランクスケールに紫外カットオフを導入して計算が行われる。一方、一般座標不変性から導かれる全ハミルトニアンがゼロになるという拘束条件は、ゼロ点エネルギーが消えることを一般論として示している。この矛盾はどこから来るのか。それは紫外カットオフが一般座標不変性を壊す計算方法だからである。逆に言えば、一般座標不変な方法で計算すれば宇宙定数問題は生じないということである。このように問題の根本原因はプランクスケールを超えた世界を正しく記述できていなかったことである。漸近的背景自由な量子重力理論は真にハミルトニアン拘束条件が背景自由性として厳密に成り立つ繰り込み可能な場の量子論で、宇宙定数問題は生じない。[K. Hamada, PTEP 2022 (2022) 103E02, arXiv:2204.03914]
『量子重力と超プランクスケール物理』（森北出版, 2026）
| はじめに | ||
| 目次 | ||
| 第1章 | 量子重力が明らかにすべきこと | |
| 第2章 | 繰り込み可能で背景自由な量子重力理論 | |
| 第3章 | 共形不変性と背景自由性 | |
| 第4章 | Hamiltonian/運動量拘束条件の物理的意味 | |
| 第5章 | 次元正則化による繰り込み計算 | |
| 第6章 | BRST共形代数と物理状態 | |
| 第7章 | 量子重力インフレーション | |
| 第8章 | 量子重力の局所的な有質量励起状態 | |
| 第9章 | 宇宙定数問題とは | |
| 第10章 | 時空揺らぎの減衰と原始スペクトル | |
| 第11章 | トポロジーと量子重力 | |
| 第12章 | 格子量子重力 | |
| 終わりに | ||
| 付録 | A, B, C, D | |
| 参考文献 |
「共形場理論を基礎にもつ量子重力理論と宇宙論」 浜田賢二(プレアデス出版, 2016)
[正誤表]
| 目次 | ||
| 第1章 | はじめに | |
| 第2章 | Minkowski共形場理論 | |
| 第3章 | Euclid共形場理論 | |
| 第4章 | 2次元共形場理論の基礎 | |
| 第5章 | 共形異常とWess-Zumino作用 | |
| 第6章 | 2次元量子重力理論 | |
| 第7章 | 4次元量子重力理論 | |
| 第8章 | 量子重力の物理状態 | |
| 第9章 | 重力相殺項と共形異常 | |
| 第10章 | くり込み可能な量子重力理論 | |
| 第11章 | Einstein理論の宇宙 | |
| 第12章 | 量子重力的宇宙論 | |
| 第13章 | 宇宙論的摂動論 | |
| 第14章 | 量子重力ゆらぎからCMB多重極まで | |
| 付録 |
量子重力理論の目的はPlanckスケールを超えた高エネルギー世界を明らかにすることである。そこでは重力の量子的ゆらぎが大きく、時間や距離の概念が失われたいわゆる背景時空独立な世界が実現すると考えられる。特定の時空を運動する粒子の描像はもはや無く、時空そのものの量子化が必要とされる。本書で紹介するくり込み可能な重力の量子論はそのような世界を共形場理論を用いて記述し、そこからのズレを摂動的に定式化した理論である。
はじめに共形場理論の一般的な事柄について解説した後、背景時空独立な量子重力理論が特別な共形場理論として記述できることを示す。共形不変性がゲージ対称性である一般座標不変性の一部として現れ、共形変換によって結びつく異なる背景時空上の理論がゲージ同値になることでその独立性が表現される。前半ではその変換を生成するBRST演算子を構成し、量子重力の物理的場の演算子や状態について解説する。
後半ではくり込み可能な量子重力理論を一般座標不変性が明白に保たれる次元正則化を用いて定式化する。その際、共形場理論からのズレを表す無次元の重力結合定数を導入する。そのベータ関数が負になることから、共形不変な世界が紫外領域で実現することが示される。一方で、その破れを表す力学的赤外スケールLambda_QGの存在も予言される。その値を10^17GeVとすると、スケール不変な原始宇宙がPlanckエネルギー付近から指数関数的に膨張を始め、Lambda_QG付近でその不変性が完全に壊れた現在の古典的な宇宙に相転移するインフレーションモデルを構成することが出来る。その発展の運動方程式の考察から相転移時のパワースペクトルを求め、CMBの観測結果と照合する。
"Trans-Planckian Physics and Inflation: An Introduction of Renormalizable and Background-Free Quantum Gravity"
K. Hamada, (Fundamental Theories of Physics 223, Springer Nature, 2025).
『量子重力と超プランクスケール物理』の英語版 詳しくはEinglishを参照
"Quantum Gravity and Cosmology Based on Conformal Field Theory"
K. Hamada, (Cambridge Scholar Publishing, Newcastle, 2018).
『量子重力理論と宇宙論』の英語版 詳しくはEinglishを参照
三次元以上の共形場理論の最近の発展についての解説書。Minkowski及びEuclid共形場理論の基礎、演算子積(OPE)、Conformal Blocks、ユニタリ性バウンドなど。また、これらについて解説したスライド D=3, 4共形場理論の最近の発展について も参照。
ゲージ不変な宇宙論的摂動論、Sachs-Wolfe効果の式、CMB異方性スペクトルほか。何故Planckスケールの現象が現在のCMBの観測から分かるのかを理解するための解説書。
二次元量子重力理論
その他
INSPIREによる論文リスト