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量子重力と宇宙

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book

■ 2016年4月に著書「共形場理論を基礎にもつ量子重力理論と宇宙論」を出版しました。
詳しくは著書の項目を参照。

CMBhistory

量子重力理論の目的はPlanckスケールを超えた世界のダイナミクスを明らかにすることです。そこでは重力の量子的ゆらぎが大きく、距離の概念が失われたいわゆる背景時空独立な世界が実現していると考えられます。最近の研究から、そのようなスケールの無い世界が共形変換の下でのゲージ同値性、すなわちBRST共形不変性として表現できることが分かってきました。それは特定の背景時空上を運動する重力子の量子化ではなく、時空そのものの量子化を意味しています。ここで紹介するくり込み可能な重力の量子論はPlanckスケールを超えた高エネルギー世界をBRST共形不変性をもつ特別な共形場理論で記述し、さらにそこからの破れの程度を表す無次元の重力結合定数を持った理論です。以下、この理論のことを漸近的背景自由な量子重力理論(asymptotically background free quantum gravity)と呼ぶことにします。
[より詳しくは著書及びレビューの項目を参照]

TTPowerSpectrum

現在の宇宙は共形不変性が破れた世界です。この理論はその破れを表す新しい力学的スケールの存在も予言しています。その値をPlanckスケールより低い10^17GeVとすると、宇宙が共形不変な量子時空からインフレーションの時代を経て、力学的スケールで量子相関が短距離になり、時空が相転移を起こして、古典的なFriedmann時空に移行する進化のシナリオを構成することができます。この理論の強みは、インフラトン場のような余分な自由度を導入することなく、重力場のダイナミクスだけでそれができることです。COBEやWMAP人工衛星が観測したCMBスペクトルの大角度成分には、時空が量子的だった当時のスペクトルの情報がそのまま保存されていると考えられます。左図の赤線は理論値で、○で囲まれた大角度成分の落ち込みは量子重力理論の力学的スケールの存在を示唆しています[arXiv:0908.0192]。また、インフレーション期間の長さ(e-foldings)とスカラー振幅の大きさはPlanckスケールと力学的スケールの比を用いて説明することができます。

《測定可能な「最小長さ」の存在》

背景時空独立性は時間や空間の概念が喪失していることを表しています。一方、量子重力の力学的スケールが示す相関距離は、それよりも長距離では量子相関が切れて、その性質が無くなることを表しています。このことは、この相関距離が物理的に測定可能な最小の距離であることを示しています。このように時空は、離散化することなしに連続体のまま、この長さ単位で実質的に量子化されていることになります。また、量子重力の素励起はこの力学的スケールを単位として現れると考えられます。

《Einstein重力理論の限界と時空の相転移》

理論の詳細を記述する前に、Einstein重力理論の限界について、それを越えるために時空の相転移の考えが必要であることを簡単に説明しておきます。良く知られた問題点として特異点の存在や、繰り込み不可能性がありますが、もう少し異なる表現をしてみます。いま、質量mの素粒子があるとします。その量子的な大きさを表すCompton波長は1/mで与えられます。一方、この粒子のSchwarzschild半径はm/m_p^2で与えられます。ここで、m_pはPlanck質量スケールです。このことは、もしm > m_pならば粒子がホライズンの内側に隠れてしまって、その粒子の情報が消えてしまうことを意味します。これは強い重力場で起こるユニタリ性問題で、Planckスケールを越えた高エネルギー世界では粒子はブラックホールになり、通常の記述がもはや成り立たなくなることを示唆しています。そのため、場の量子論を考えるときは通常Planckスケールで紫外カットオフを導入しなければならなくなります。一般的に、背景時空に依存した理論ではこの紫外カットオフが必要になります。それは宇宙項問題の元凶にもなっています。

以下で説明する量子重力理論はそのような紫外カットオフが無い理論です。そして、理論が予言する時空の相転移は、最初にも述べたように、重力場が強くなると時空構造が変化して背景時空独立な世界が実現し、背景時空上を伝播する粒子的記述そのものが成り立たなくなることを意味します。これによって、上記の問題を根本的に解決することができます。

《漸近的背景自由な量子重力理論》

Einstein重力理論はくりこみ不可能な理論であることは良く知られています。それは、スカラー曲率で定義されるEinstein作用が量子論的に不安定な下に有界でない作用であることと関係しています。ただ、理論の基礎となるもっとも大切な一般座標変換不変性がくりこみ理論と矛盾しているわけではありません。ここで紹介する繰り込み可能な重力の量子論は下に有界な作用を用いて定義されます。それは、一般座標変換不変性と経路積分可能条件(Wess-Zumino integrability condition)の二つの条件から決まる以下の作用で与えられます[arXiv:0907.3969]:

renormalizable quantum gravity action

ここで、第一項は共形不変なWeyl作用です。その前の"t"が漸近自由性を示す無次元のくりこみ可能な結合定数で、重力場のトレースレステンソルモードのダイナミクスを支配します。第二項はEuler項で、その前の係数 b は t で展開されます。一方、時空全体のスケールを表す共形モードのダイナミクスを記述するために通常導入されるスカラー曲率の2乗の項は、積分可能条件を満たさないために排除されています。ここが以前の重力理論とは大きく異なるところです。この理論では、共形モードのダイナミクスは積分測度から誘導されるWess-Zumino作用 S によって記述され、分配関数は以下のように表されます:

partition function and metric

ここで、共形モードには新たな結合定数を導入していないことに注意してください。結合定数 t の最低次で現れる作用のことを特にRiegert-Wess-Zumino作用と言い、

Riegert-Wess-Zumino action

で与えられます。ここで重要な点は、共形モードを厳密に、非摂動的に量子化していることです。実際それが可能だということです。その結果、理論は非摂動的な場の量子論の代表格である共形場理論(conformal field theory, CFT)を用いて表されます[arXiv:1109.6109]。共形不変性の存在によって特異点は排除され、ブラックホールにおける情報喪失パラドクスのようなユニタリ性の問題を議論することが可能になります。一方、結合定数は共形不変性からのズレの度合いを測るものさしの役目を果たしています。漸近自由性を示すその結合定数が低エネルギーで大きくなると古典的な時空に相転移します。このような紫外極限で背景時空独立性が現れる性質のことを通常の漸近自由性と区別して漸近的背景自由性(asymptotic background freedom)と呼ぶことにします。

昨今、量子重力理論と称するモデルが数多く報告されていますが、量子補正を具体的に計算することができるモデルは多くはありません。ここで紹介した量子重力理論はまさに計算できる理論です。計算可能な理論の一つであるストリング理論との違いは、まず定義されるている時空の次元が異なります。高エネルギー極限で共形不変性を持つかどうかも大きな違いです。また、ストリング理論は明白に有限な理論のため、有効作用は新たなスケールを含まない局所的なものになります。そのためストリング長さ以外の力学的スケールはコンパクト化を通して導入されます。これに対して、繰り込み可能な量子重力理論は繰り込み操作によって有効作用が非局所的になり、量子色力学(QCD)と同様に、上記の作用関数に含まれるスケール以外に新しい力学的スケールが現れます。この力学的スケールの重要性は上で述べた通りです。

《Planckスケールの現象と宇宙論的摂動論》

Bardeen potentials

現在観測されているCMB異方性スペクトルから何故Planckスケールの現象を理解することができるのかを知るためには、宇宙論的摂動論の知識が必要です。宇宙はインフレーション時代におよそ10^30倍、Friedmann時空に移行してからさらに10^30倍、合わせておよそ10^60倍ほど膨張したと考えられています。それは、現在の銀河団よりも大きな数百メガパーセクのサイズがインフレーション以前では量子重力のスケールであるPlanck長さ内に納まっていたことを意味します。左図は、宇宙論的摂動論の考えを用いて、量子重力理論の有効作用から重力場のゆらぎ(Bardeen potentials)の発展方程式を導いて、インフレーション時空解のまわりで解いた結果です。横軸は物理時間で、Planck時間以前から時空の相転移(ビッグバン)が起こる時間までを数値計算しています。相転移時(左端)ではゆらぎの振幅が小さくなって、観測値10^-5に近づくことが示されています。ここで重要なことは、インフレーションモデル全般に言えることですが、初期のPlanckスケールの情報がインフレーション後に来るビッグバンによって乱されないことです。なぜなら、インフレーション期にそれは大きく引き伸ばされて、ビッグバンの時にはその力学を支配する量子重力の相関距離よりも十分に大きなスケールまで成長しているからです。このように、インフレーション以前の宇宙創成期のスケール不変なスペクトルの情報がそのままビッグバン後の熱的な宇宙に転写され、それがCMBのゆらぎスペクトルに中に受け継がれて今日それを観測することが出来るのです。ビッグバン以後の宇宙はEinstein方程式をFriedmann時空のまわりで展開して解く通常の宇宙論的摂動論で記述することができます。このようにして求めたCMBペクトルがWMAP等の実験データとともに記した2番目の図の赤線です。

プロフィール

研究内容の紹介

著書

quantum gravity bookcover

■「共形場理論を基礎にもつ量子重力理論と宇宙論」
浜田賢二(プレアデス出版, 2016) [
正誤表]

Focus on Quantum Gravity Research

■ Background Free Quantum Gravity and Cosmology
K. Hamada, S. Horata and T. Yukawa, ``Focus on Quantum Gravity Research" (Nova Science Publisher, NY, 2006), Chap. 1.

解説書

最近の主なスライド

主な研究論文[量子重力理論関係のみ]

量子重力的宇宙論

  1. From CFT Spectra to CMB Multipoles in Quantum Gravity Cosmology,
    K. Hamada, S. Horata and T. Yukawa, Phys. Rev. D81 (2010) 083533, arXiv:0908.0192[astro-ph].
  2. Analyzing WMAP Observation by Quantum Gravity,
    K. Hamada, S. Horata, N. Sugiyama and T. Yukawa, Prog. Theor. Phys. 119 (2008) 253, arXiv:0705.3490[astro-ph].
  3. Space-time Evolution and CMB Anisotropies from Quantum Gravity,
    K. Hamada, S. Horata and T. Yukawa, Phys. Rev. D74 (2006) 123502, astro-ph/0607586.
  4. CMB Anisotropies Reveal Quantized Gravity,
    K. Hamada and T. Yukawa, Mod. Phys. Lett. A20 (2005) 509, astro-ph/0401070.
  5. Baryogenesis by Quantum Gravity,
    K. Hamada, A. Minamizaki and A. Sugamoto, Mod. Phys. Lett. A23 (2008) 237, arXiv:0708.2127 [astro-ph].

量子重力理論の物理的演算子と共形場理論

  1. BRST Conformal Symmetry as A Background-Free Nature of Quantum Gravity,
    K. Hamada, arXiv:1707.06351[hep-th][Review].
  2. BRST Analysis of Physical Fields and States for 4D Quantum Gravity on R x S^3,
    K. Hamada, Phys. Rev. D86 (2012) 124006, arXiv:1202.4538[hep-th].
  3. BRST Invariant Higher Derivative Operators in 4D Quantum Gravity based on CFT,
    K. Hamada, Phys. Rev. D85 (2012) 124036, arXiv:1203.4894[hep-th].
  4. Background Free Quantum Gravity based on Conformal Gravity and Conformal Field Theory on M^4,
    K. Hamada, Phys. Rev. D85 (2012) 024028, arXiv:1109.6109[hep-th].
  5. Conformal Field Theory on R x S^3 from Quantized Gravity,
    K. Hamada, Int. J. Mod. Phys. A24 (2009) 3073--3110, arXiv:0811.1647[hep-th].
  6. Building Blocks of Physical States in a Non-Critical 3-Brane on R x S^3,
    K. Hamada, Int. J. Mod. Phys. A20 (2005) 5353--5398, hep-th/0402136.
  7. Conformal Algebra and Physical States in a Non-critical 3-brane on R x S^3,
    K. Hamada and S. Horata, Prog. Theor. Phys. 110 (2003) 1169, hep-th/0307008.

くり込み理論

  1. Physical Cosmological Constant in Asymptotically Background Free Quantum Gravity,
    K. Hamada and M. Matsuda, Phys. Rev. D96 (2017) 026010, arXiv:1704.03962[hep-th].
  2. Two-Loop Quantum Gravity Corrections to Cosmological Constant in Landau Gauge,
    K. Hamada and M. Matsuda, Phys. Rev. D93 (2016) 064051, arXiv:1511.09161[hep-th].
  3. RG Analysis for Quantum Gravity with A Single Dimensionless Coupling,
    K. Hamada, Phys. Rev. D90 (2014) 084038, arXiv:1407.4532[hep-th].
  4. Determination of Gravitational Counterterms Near Four Dimensions from RG Equations,
    K. Hamada, Phys. Rev. D89 (2014) 104063, arXiv:1403.4354[hep-th].
  5. Resummation and Higher Order Renormalization in 4D Quantum Gravity,
    K. Hamada, Prog. Theor. Phys. 108 (2002) 399, hep-th/0203250.
  6. Background-metric Independent Formulation of 4D Quantum Gravity,
    K. Hamada and F. Sugino, Nucl. Phys. B553 (1999) 283, hep-th/9810095.

二次元量子重力理論

  1. Quantum Theory of Dilaton Gravity in 1 + 1 Dimensions,
    K. Hamada, Phys. Lett. B300 (1993) 322, hep-th/9206071.
  2. Physical States, Factorization and Non-linear Structures in Two Dimensional Quantum Gravity,
    K. Hamada, Nucl. Phys. B413 (1994) 278, hep-th/9309094.
  3. Ward Identities of W_infinity Symmetry in Liouville Theory coupled to c_M < 1 Matter,
    K. Hamada, Phys. Lett. B324 (1994) 141, hep-th/9311047.
  4. Non-linear Structures in Non-critical NSR String,
    K. Hamada and H. Ishikawa, Commum. Math. Phys. 176 (1996) 401, hep-th/9405130.

その他

INSPIREによる論文リスト

量子重力理論への道のり

道のり[準備中]