Relativity
Rapidity $\rho$ は以下で定義される。
$$
\tanh(\rho) = \beta
$$
また、
$$
\cosh(\rho) = \gamma
$$
$$
\sinh(\rho) = \beta\gamma
$$
であるから、
$e^{\rho}$や$e^{-\rho}$は以下の様になる。
$$
e^{\rho}=\gamma(1+\beta) = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
$$
$$
e^{-\rho}=\gamma(1-\beta) = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}
$$
また、以下の様な式が成り立つ。
$$
\cosh(\rho/2) = \left( \frac{\gamma+1}{2} \right)^{1/2} = \left( \frac{E+m}{2m} \right)^{1/2}
$$
$$
\sinh(\rho/2) = \left( \frac{E-m}{2m} \right)^{1/2}
$$
$$
\tanh(\rho/2) = \left( \frac{E-m}{E+m} \right)^{1/2} = \frac{p}{E+m}
$$
慣性系$S$と、それに対して速度$v$で動く慣性系$S'$を考える。$t=t'=0$で$x=x'=0$とする。
ある時空点が$S$系で$(t,x)$、$S'$系で$(t',x')$で表される。この関係は、
$$
\begin{pmatrix}
t' \\ x'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta\gamma & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t \\ x
\end{pmatrix}
$$
になる。これは以下の様に書き換えることが出来る。
$$
\begin{pmatrix}
t' + x' \\
t' - x'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
e^{-\rho} & 0 \\
0 & e^{\rho}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t+x \\
t-x
\end{pmatrix}
$$
軌道角運動量
$$
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol {p}
$$
$$
L^{\mu\nu}=x^\mu p^\nu - x^\nu p^\mu
$$
全角運動量
$$
J^{\mu\nu}=S^{\mu\nu}+L^{\mu\nu}
$$
$S^{0\mu}=0$になっており、この反対称テンソルに付随するのは軸性ベクトルのみ。
粒子静止系ではその軸性ベクトルは3-spin。
Pauli-Lubanski psudovectorは以下で定義される。
$$
\boldsymbol{W}=\star(\boldsymbol{J} \wedge \boldsymbol{P})
$$
$$
W_\mu = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}J^{\nu\rho}P^{\sigma}
$$
定義からあきらかなように、$J$のうち$L$は$W$には寄与しない。