Parity
波動関数がパリティー変換の固有状態であれば、
$$
P(\psi(\vec{r})) = \psi(-\vec{r}) = \eta_P \psi(\vec{r})
$$
中心力の場合は動径波動関数と、球面調和関数に分離できる。
$$
\psi(\vec{r}) = R(r) Y_{lm}(\theta,\phi)
$$
パリティー変換で、$R(r)$ は変わらない。$Y_{lm}$は以下のように固有値$(-1)^l$の
固有状態である。
$$
P(Y_{lm}(\theta,\phi))=Y_{lm}(\pi - \theta,\phi + \pi) = (-1)^l Y_{lm}(\theta,\phi)
$$
素粒子の Parity
Gauge bossons
| $\gamma$(photon) | $I(J^{PC})=0,1(1--)$ |
| $g$(gluon) | $I(J^{P})=0(1-)$ |
| $W/Z$ | $J=1$ |
Fermions
quarks,leptons: $P=+$
anti-quarks,anti-leptons: $P=-$
Meson の Parity
$q\bar{q}$ pair にP変換を施すどうなるか。
複合系ABのP変換の固有値は、
$$
P(AB) = P(A) \times P(B) \times (-1)^L
$$
つまり個々の粒子の Intrinsic pairty と、相対運動のパリティの
積になる。クォークと反クォークのintrinsic parity が反対符号なので、
$$
P|q\bar{q}> = (-1)^{L+1}|q\bar{q}>
$$
である。
C Parity
$|\psi>$ を、C演算子の固有状態とし、その固有値を$\eta_C$とする。
$$
C|\psi> = \eta_C |\psi>
$$
固有状態は、電気的に中性でなければならない。
素粒子の C Parity
$\gamma$ : C = -1
Notes on gluons
Color octet: $r\bar{g}$, $r\bar{b}$, $g\bar{r}$, $g\bar{b}$, $b\bar{r}$, $b\bar{g}$,
$\frac{1}{\sqrt{2}}(r\bar{r}-g\bar{g})$, $\frac{1}{6}(r\bar{r}+g\bar{g}-2b\bar{b})$.
Colorless singlet: $\frac{1}{\sqrt{3}}(r\bar{r}+g\bar{g}+b\bar{b})$
しかしながら、最後のThe colorless singlet gluon は自然には存在しないようである。
存在するとすると、強い力も長距離力の性質をもつ。
(Color SU(3) not U(3))
gluon の C 変換
C変換とは、粒子反粒子変換のことなので、おそらく
gluon に C をかけると、 $r\bar{b} \rightarrow \bar{r}b$。
というわけで、gluon自体は C の固有状態ではない。
（多分）グルーオンを何本か組み合わせても、C の固有状態にはできるだろう。
Meson の C Parity
$q\bar{q}$ pair にC変換を施すということは、2つのクォークを入れ替えることと同じことである。
2つのクォークを入れ替えると、フェルミオンの入れ替えによる
(-1)と、軌道角運動量による項$(-1)^L$、スピンによる項$(-1)^{S+1}$がでてくる。
$$
C|q \bar{q}> = (-1) (-1)^L (-1)^{S+1} |q \bar{q}>
$$
example ) $\pi^0$
$\pi^0$ は、$L=0,S=0$ だから $C=+$である。
example ) $\rho^0$
$\rho^0$ は、$L=0,S=1$ だから $C=-$である。
gluon pair の C Parity
$u\bar{u}$ <--> $d\bar{d}$ が gluon を通しておこるときを考える。
この考えは、charmonium の強い相互作用による崩壊を考えるときも使える。
meson が $S=0$ だとすると、$C=+$である。
Meson (colorless)が gluonだけになったのだとすると、
それが色的に中性でなくてはいけないので、最低2つ必要。
gluon pair の C parity は、（多分）グルーオンの入れ替えと同じだから、
spin x space x exchange(boson) を考えればよくて、$L=0$かつbosonだから、
問題は spin。
spin = 1 -> spin=0 をつくる組み合わせは粒子の入れ替えに大して対称になる。
よって$C=+$はOK。
一方ベクトル中間子は$C=-$ になるので、 gluon 2 つは合わない。
gluonは三つ必要。
しかし gluon が C=-1 であるかのように解説している本が見受けられるのだが、
それは正しいのか？？