物質中の電磁気学ーEB対応・EH対応

物質中のMaxwell方程式について考える。真空中のMaxwell方程式から 出発して、微視的な電荷や電流（誘導電荷や磁化）などを考慮することで 物質中のMaxwell方程式に書き直してみる。 仮出発点のMaxwell方程式は、 $$ \mathrm{div} \boldsymbol{D} = \rho, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0, \\ \mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t},\\ \mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $$ であるがこれを真空の方程式に変形して、そこから出発することにする。 真空中では、 $$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E}, \\ \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{H} $$ なる関係がある。EB対応の場合はこの関係を用いてEとBのみの式にして出発する。 EH対応の場合、完全にEとHのみの方程式にしてしまうと第四式で難しい対応を 迫られるため、下のように第4式にBを残して書き換える。

--- EB対応 ---
$$ \mathrm{div} (\varepsilon_0 \boldsymbol{E}) = \rho, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0, \\ \mathrm{rot} (\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}) = \boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t},\\ \mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $$
--- EH対応 ---
$$ \mathrm{div} (\varepsilon_0 \boldsymbol{E}) = \rho, \\ \mathrm{div} (\mu_0 \boldsymbol{H}) = 磁荷=0, \\ \mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t},\\ \mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ (\mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}) $$ 磁荷が式に入っていることに注意。（単独で存在しないので結局０。） 第４式はわざとBを残した。第五式は、恒等式$\mathrm{div}(\mathrm{rot} A)) = 0$ から磁荷がある場合矛盾してしまう。

これら真空の式を出発点とする。（最初のEDBHでかいた式は忘れよう。） これらは真空中の式であるから、この式の中の電荷・電流そして磁荷という変数 としては、真電荷$\rho_0$・真電流$\boldsymbol{j}_0$・真磁荷（存在せず）を入れるだけでなく、 物質が存在することによって生じた電荷・電流・磁荷を加えなければならない。 電荷は両対応共通で、 $$ \begin{align} \rho &= \rho_0(真電荷) + \rho_i(誘導電荷) \\ &= \rho_0 - \mathrm{div} \boldsymbol{P} \end{align} $$ を真空の式に代入することになる。ここで$\boldsymbol{P}$は分極ベクトルである。 電流および磁荷はEB/EHで異なる。

--- EB対応 ---
$$ \begin{align} \boldsymbol{j} &= \boldsymbol{j}_0(真電流) + \boldsymbol{j}_m(磁化電流) + \boldsymbol{j}_d(電流), \\ &= \boldsymbol{j}_0 + \mathrm{rot} \boldsymbol{M} + \frac{\partial \boldsymbol{\boldsymbol{P}}}{\partial t} \end{align} $$ ここで$\boldsymbol{M}$は磁化ベクトルである。

--- EH対応 ---
$$ \begin{align} \boldsymbol{j} &= \boldsymbol{j}_0(真電流) + \boldsymbol{j}_d(電流) \\ &= \boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial P}{\partial t} \end{align} $$ そして、 $$ \begin{align} 磁荷 &= 真磁荷 + \rho_m \\ &= 0 -\mathrm{div} \boldsymbol{P_m} \end{align} $$ ここで$\boldsymbol{P_m}$は磁気モーメントベクトルである。

以上で導入した電流・電荷・磁荷を真空中の方程式に代入しよう。 そして、物質固有の性質が隠れるように、場の変数を４つに増やす。 第一式については、両対応共通である。 $$ \mathrm{div} (\varepsilon_0 \boldsymbol{E}) = \rho_0 - \mathrm{div} \boldsymbol{P}, \\ \mathrm{div} (\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}) = \rho_0, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{D} = \rho_0 $$ ここで、 $$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} $$ として$\boldsymbol{D}$を導入し、物質固有の性質に依存するものを排除した式、$\mathrm{div}\boldsymbol{D} = \rho_0$ を得た。

--- EB対応 ---
第三式を使うと、 $$ \mathrm{rot}(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}) = \boldsymbol{j}_0 + \mathrm{rot} \boldsymbol{M} + \frac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t} + \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \\ \mathrm{rot}(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M}) = \boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}, \\ \mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}_0 + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} $$ ここで、DやHを、 $$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}, \\ \boldsymbol{H} = \boldsymbol{B}/\mu_0 - \boldsymbol{M} $$ なるものとして導入した。
--- EH対応 ---
第２式より、 $$ \mathrm{div} \mu_0 \boldsymbol{H} = -\mathrm{div} \boldsymbol{P_m} \\ \mathrm{div} (\mu_0 \boldsymbol{H}+\boldsymbol{P_m}) = 0 \\ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0 $$ 第３式より、 ここでBを $$ \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{H} + \boldsymbol{P_m} $$ なるものとして導入した。


これで物質固有の性質が消えた式が４つ得られて終了である。 両対応を見比べると、実は$\boldsymbol{M}$と$\boldsymbol{P_m}$は比例定数が異なるだけである。といろいろ見てきたが、手で入れているものを恣意的に選んでいる感が拭えぬ。自然から教えてもらっているのであって、演繹などできない、ということで あきらめて、上の議論は忘れて、ここから先に書いてあることを 実用的には使うことにする。
実用的な出発点として、物質中のMaxwell方程式は、 $$ \mathrm{div} \boldsymbol{D} = \rho_0, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0, \\ \mathrm{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j_0} + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t},\\ \mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} $$ であり、真電荷・真電流のみがソースとして入っている。 DEBHの関係は、

--- EB対応 ---
$$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}, \\ \boldsymbol{H} = \boldsymbol{B}/\mu_0 - \boldsymbol{M} $$
--- EH対応 ---
$$ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}, \\ \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{H} + \boldsymbol{P_m} $$

となり、以下のようにまとめて書く。 $$ \boldsymbol{D} = \varepsilon \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H} $$ 弱い場においては、分極ベクトルなどは場に比例すると考える。

--- EB対応 ---
$$ \boldsymbol{P} = \chi_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E}, \\ \boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H} $$
--- EH対応 ---
$$ \boldsymbol{P} = \chi_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E}, \\ \boldsymbol{P_m} = \chi_m \mu_0 \boldsymbol{H} $$

とすれば、比誘電率・比透磁率を以下の用に表せる。

--- EB対応 ---
$$ \begin{align} \boldsymbol{D} &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \\ &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \chi_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \\ &= \varepsilon_0 (1+\chi_e)\boldsymbol{E} \\ &= \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol{E} \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} \boldsymbol{B} &= \mu_0 ( \boldsymbol{H} + \boldsymbol{M} ),\\ &= \mu_0 ( 1 + \chi_m ) \boldsymbol{H},\\ &= \mu_0 \mu_r \boldsymbol{H} \end{align} $$
--- EH対応 ---
$$ \begin{align} \boldsymbol{D} &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \\ &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \chi_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \\ &= \varepsilon_0 (1+\chi_e)\boldsymbol{E} \\ &= \varepsilon_0 \varepsilon_r \boldsymbol{E} \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} \boldsymbol{B} &= \mu_0 \boldsymbol{H} + \boldsymbol{P_m},\\ &= \mu_0 ( 1 + \chi_m ) \boldsymbol{H},\\ &= \mu_0 \mu_r \boldsymbol{H} \end{align} $$


おまけ。勉強のためにdivB=0から出発して 磁場Hの式を出してみる。

--- EB対応 ---
$$ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0, \\ \mathrm{div} (\mu_0 \boldsymbol{H} + \mu_0 \boldsymbol{M}) = 0, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{H} = - \mathrm{div}\boldsymbol{M} \\ \mathrm{div} \boldsymbol{H} = \rho_m/\mu_0 $$ というわけで結局磁荷が出現して $\mathrm{div} \boldsymbol{H} = 0$ にならず、物質境界で垂直方向成分が 不連続になる。
--- EH対応 ---
$$ \mathrm{div} \boldsymbol{B} = 0, \\ \mathrm{div} (\mu_0 \boldsymbol{H} + \boldsymbol{P_m}) = 0, \\ \mathrm{div} \boldsymbol{H} = - \mathrm{div}\boldsymbol{P_m}/\mu_0 \\ \mathrm{div} \boldsymbol{H} = \rho_m/\mu_0 $$ というわけで磁場のクーロンの法則を再現する。


ややこしいが、磁化ベクトル$\boldsymbol{M}$ （あるいは$\boldsymbol{P_m}$）のdivをとったらそれは磁荷であるし、 rotをとったらそれは磁化電流である。 これはEB,EH対応どちらで考えていても同じである。 静電場・静磁場の問題をとくときは、 物質境界での境界条件がdiv=0 だと垂直方向が連続、 rot=0だと水平方向が連続になることに注意しながら、 EBDH状況に応じて便利な方をとって計算する。